有限差分方法的基本公式
设 $u$ 是 $\Omega=[0,\ell]$ 上的函数, 将该区间 $N$ 等分, 记 $u_j=u(x_j)$, 其中 $x_j=j\cdot h$, $h=\Delta x=\frac{\ell}{N}$. 则有
\[
\sum_{j=1}^{N}u_j\Delta_{-}v_j=-\sum_{j=0}^{N-1}v_j\Delta_{+}u_j-u_0 v_0+u_N v_N,
\]
\[
\sum_{j=1}^{N-1}u_j\Delta_{+}\Delta_{-}v_j=-\sum_{j=0}^{N-1}\Delta_{+}u_j\Delta_{+}v_j-u_0\Delta_{+}v_0+u_N\Delta_{-}v_N,
\]
\[
\Delta_{+}(u_j v_j)=u_{j+1}\Delta_{+}v_j+v_j\Delta_{+}u_j.
\]
其中 $\Delta_{+},\Delta_{-}$ 分别指向前差分(forward difference)和向后差分(backward difference).